Die Bestimmung einer Extremstelle rechnerisch erfolgt durch das Lösen der Ableitungsfunktion und das Überprüfen der Kriterien für Extremstellen. Dabei erhält man eine exakte Lösung. Bei der näherungsweisen Bestimmung wird hingegen eine numerische Methode wie das Newton-Verfahren verwendet, um eine Annäherung an die Extremstelle zu finden. Diese Methode kann schneller sein, ist jedoch nur eine Näherung und kann zu kleinen Fehlern führen. **

Die Bestimmung der Lipschitzkonstante per Ableitung ermöglicht es, eine obere Schranke für die Steigung einer Funktion zu finden. Dies ist nützlich, um die Stabilität und Konvergenz von numerischen Verfahren zu analysieren, insbesondere in der Optimierung und maschinellen Lernalgorithmen. Eine kleinere Lipschitzkonstante bedeutet, dass die Funktion weniger stark variiert und somit stabiler und schneller konvergiert. **

Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an. Wenn die Ableitung positiv ist, ist die Funktion monoton steigend. Wenn die Ableitung negativ ist, ist die Funktion monoton fallend. Wenn die Ableitung an einer Stelle null ist, kann man keine Aussage über die Monotonie treffen. **

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an verschiedenen Punkten an. Wenn die Ableitung an einem Punkt Null ist, bedeutet dies, dass die Funktion an diesem Punkt eine Extremstelle hat. Durch die Untersuchung der Ableitung können also mögliche Nullstellen der Funktion gefunden werden. **

Die Geschwindigkeit ist definiert als die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit. Durch die Ableitung erhält man den momentanen Änderungswert der Ortsfunktion, also die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Ohne die Ableitung könnte man nur die durchschnittliche Geschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum bestimmen, nicht jedoch die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. **

Die grundlegenden Eigenschaften zur Bestimmung der Stetigkeit einer Funktion sind, dass der Funktionswert an einer Stelle existiert, der Grenzwert an dieser Stelle existiert und beide Werte übereinstimmen. Kriterien zur Stetigkeit sind die Existenz von Grenzwerten an den Grenzpunkten eines Intervalls, die Existenz von Funktionswerten an den Randpunkten eines Intervalls und die Abhängigkeit der Stetigkeit von der Definitionsmenge der Funktion. **

Der Grenzwert der Konvergenz ist der Wert, den eine Folge annimmt, wenn ihre Glieder sich immer weiter einem bestimmten Wert annähern. Er ist der Wert, den die Folge "konvergiert". Der Grenzwert kann existieren oder auch nicht, je nachdem, ob die Folge konvergent ist oder nicht. **

Konvergenz bezieht sich auf die Eigenschaft einer Folge oder einer Funktion, sich einem bestimmten Wert anzunähern, wenn man ihre Glieder oder Argumente unendlich vergrößert. Ein Grenzwert von 2 bedeutet, dass die Folge oder Funktion sich diesem Wert annähert, wenn man ihre Glieder oder Argumente unendlich vergrößert. **